数学基础
dtdA=def(dtdAij)m×n
aq=def(∂qj∂a)t×n
a是一个多元标量函数;q是该函数的一组变量;所得是一个行阵。a也可展开为一个列阵,这时要对列阵的每个元素对相应的qj求导数。
- 矢量在某基上对t的导数等于矢量在该基下的坐标阵对时间的导数。
- 矢量在一组基上的坐标为(a1,a2,a3),则矢量在基上的坐标方阵(跟坐标阵不同哦)为:
a~=def0a3−a2−a30a1a2−a10
(记忆:基叉乘对应矢量(行阵叉乘列阵)之后取模,详见1.2-25)
a⋅b=aTb
a×b=a~b
e1re2re3r=A11A21A31A12A22A32A13A23A33e1be2be3b
也即:
er=Arbeb
要求相反的,就要取一下转置。
er=Arses=ArsAsbeb
ar=Arbab
a~r=Arba~bAbr
静力学
MO(F)=defr×F=r~F
M=defr×F=r~F
力偶矩矢量是自由矢量。
力系简化
- 力作用线的平移与力系的简化
![[力作用线的平移]]
上图将力系由B点向A点平移。蓝色的矢量均为“为了平移而构想出的矢量”。在A点,这些矢量共同被看作绿色圆圈框住的力偶和原本不变的力。
由这张图也可以推出力系简化的一个结论。假设我们想把力系从B点向A点简化。则有:
MA=MB+rAB×FB
其中FB=FA,为这个力系的主矢。
(记忆:矢量指向简化中心,但力(主矢)的方向相反;指向原来的位置,力(主矢)的方向相同)
- 空间任意力系可以简化为一个力偶(主矩)和一个有作用中心的力(主矢),最简情况:平衡/合力/力偶/力螺旋。
- 力螺旋力偶矩:
MC=FRMOTFR
- 力螺旋矢量rOC(向C化简,这里的叉乘本来就考虑了方向):
rOC=FR2F~RMO
若主矢点乘主矩不等于0,则称为力螺旋;若为0,则可以化简为合力。
约束力=理想约束(限制非自由体运动形式)+非理想约束力
理想约束力与非自由体的运动或运动趋势有关。
- 柔索约束:限制物体向它伸长的方向运动,表现为拉力
- 支承面约束:限制物体沿支承面的公法线反向运动,表现为支持力
- 平面圆柱铰约束:过轴心,且可用作用于轴心的两个相互垂直的力Fx和Fy描述。轴套和轴销的约束力大小相等方向相反(相互作 用力)
- 平面固定销支座:x,y方向各有一个力。
- 平面滑动销支座:滑动的方向没有约束力。
- 基座和多物体组合圆柱销:看作一个轴和多个圆柱销
- 多物体组合圆柱销:![[Pasted image 20231218170910.png]]
- 平面滑移约束:限制垂直该方向的相对移动和刚体间的相对转动。
- 齿轮副和齿轮-齿条约束:沿接触点公法线方向无相对运动。约束力作用在齿轮-齿条的接触点,沿该点的公法线方向。(也可以用Fx和Fy来表示,只不过二者之间有一个特定的角度θ)
- 纯滚动:有一个平行于接触面限制接触点相对滑动的力Ff,还有一个支持力FN,但二者没有啮合角的关系
- 球铰约束:用三个垂直的分量取代特定的约束力
- 固定端约束:非自由体不能做任何运动。可等效为一个力系和一个力偶,但方向未知
- 二力杆约束:若杆件两端的铰上的约束力通过各自的几何中心,且杆件上没有其他力的作用,二力杆达成平衡,则不管其为直杆还是曲杆,其两端的约束力大小相等,方向相反且共线。在处理一堆杆的问题时,可以利用这个性质简化问题
力系平衡,很多方程
i=1∑nFix=0
i=1∑nFiy=0
i=1∑nFiz=0
i=1∑nMCx(Fi)=0
i=1∑nMCy(Fi)=0
i=1∑nMCz(Fi)=0
通过拆分刚体系,可以把静不定问题拆分成静定问题,从而求出未知量。
- 滑动摩擦:高中物理/大雾一讲过,不再赘述
- 滚动摩擦:等效为一个力Ff和一个力矩Mf,均阻碍圆柱/圆球向前滑动/滚动。当Mf达到极限值时,圆柱开始滚动。若此时尚未达到滑动摩擦力的极限值,则做纯滚动。
刚体平面运动学