理论力学

数学基础

• 矩阵对变量$t$的导数

$$\frac{d}{dt} \boldsymbol{A} \overset{\underset{\mathrm{def} }{} }{=}\left( \frac{dA_{ij} }{dt} \right)_{m \times n}$$

• 矩阵对变量$\boldsymbol{q}$的导数

$$a_{\boldsymbol{q} }\overset{\underset{\mathrm{def} }{} }{=}\left( \frac{ {\partial a} }{\partial q_{j} } \right)_{t \times n}$$

$a$是一个多元标量函数；$q$是该函数的一组变量；所得是一个行阵。$a$也可展开为一个列阵，这时要对列阵的每个元素对相应的$q_{j}$求导数。

• 矢量在某基上对$t$的导数等于矢量在该基下的坐标阵对时间的导数。
• 矢量在一组基上的坐标为$(a_{1},a_{2},a_{3})$，则矢量在基上的坐标方阵（跟坐标阵不同哦）为：

$$\tilde{\boldsymbol{a} }\overset{\underset{\mathrm{def} }{} }{=} \begin{pmatrix} 0 &-a_{3}& a_{2} \\ a_{3} &0 &-a_{1} \\ -a_{2}& a_{1}& 0 \end{pmatrix}$$

（记忆：基叉乘对应矢量（行阵叉乘列阵）之后取模，详见1.2-25）

• 矢量点乘的计算：

$$\vec{a} \cdot \vec{b}=\boldsymbol{a}^T \boldsymbol{b}$$

• 矢量叉乘的计算：

$$\vec{a} \times \vec{b}=\tilde{\boldsymbol{a} } \boldsymbol{b}$$

• 方向余弦阵：

$$\begin{pmatrix} \vec{e_{1} }^{r} \\ \vec{e_{2} }^{r} \\ \vec{e_{3} }^{r} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13} \\ A_{21}&A_{22}&A_{23} \\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \vec{e_{1} }^b \\ \vec{e_{2} }^b \\ \vec{e_{3} }^b \end{pmatrix}$$

也即：

$$\vec{\boldsymbol{e} }^r=\boldsymbol{A}^{rb} \vec{\boldsymbol{e} }^b$$

要求相反的，就要取一下转置。

• 方向余弦阵与基的转换：

$$\vec{\boldsymbol{e} }^r=\boldsymbol{A}^{rs}\vec{\boldsymbol{e} }^s=\boldsymbol{A}^{rs}\boldsymbol{A}^{sb} \vec{\boldsymbol{e} }^b$$ $$\boldsymbol{a}^r=\boldsymbol{A}^{rb}\boldsymbol{a}^b$$ $$\tilde{\boldsymbol{a} }^r=\boldsymbol{A}^{rb} \tilde{\boldsymbol{a} }^b \boldsymbol{A}^{br}$$

静力学

• 汇交力系可以合并为一个合力。
• 力矩：

$$\vec{\boldsymbol{M}_{O} }(\vec{F})\overset{\underset{\mathrm{def} }{} }{=}\vec{r} \times \vec{F}=\tilde{\boldsymbol{r} }\boldsymbol{F}$$

• 力偶：

$$\vec{M}\overset{\underset{\mathrm{def} }{} }{=}\vec{r} \times \vec{F}=\tilde{\boldsymbol{r} }\boldsymbol{F}$$

力偶矩矢量是自由矢量。

力系简化

• 力作用线的平移与力系的简化 ![[力作用线的平移]] 上图将力系由$B$点向$A$点平移。蓝色的矢量均为“为了平移而构想出的矢量”。在$A$点，这些矢量共同被看作绿色圆圈框住的力偶和原本不变的力。 由这张图也可以推出力系简化的一个结论。假设我们想把力系从$B$点向$A$点简化。则有：

$$\vec{M}_{A}=\vec{M}_{B}+\vec{r}_{AB}\times \vec{F}_{B}$$

其中$\vec{F}_{B}=\vec{F}_{A}$，为这个力系的主矢。 （记忆：矢量指向简化中心，但力（主矢）的方向相反；指向原来的位置，力（主矢）的方向相同）

• 空间任意力系可以简化为一个力偶（主矩）和一个有作用中心的力（主矢），最简情况：平衡/合力/力偶/力螺旋。
• 力螺旋力偶矩：

$$\boldsymbol{M}^C={\frac{\boldsymbol{M}^T_{O}\boldsymbol{F_{R} }}{F_{R} }}$$

• 力螺旋矢量$r_{OC}$（向$C$化简，这里的叉乘本来就考虑了方向）：

$$\boldsymbol{r}_{OC}=\frac{ {\tilde{\boldsymbol{F} }_{R}\boldsymbol{M}_{O} }}{F_{R}^2}$$

若主矢点乘主矩不等于0，则称为力螺旋；若为0，则可以化简为合力。

约束

约束力=理想约束（限制非自由体运动形式）+非理想约束力 理想约束力与非自由体的运动或运动趋势有关。

• 柔索约束：限制物体向它伸长的方向运动，表现为拉力
• 支承面约束：限制物体沿支承面的公法线反向运动，表现为支持力
• 平面圆柱铰约束：过轴心，且可用作用于轴心的两个相互垂直的力$\vec{F_{x} }$和$\vec{F_{y} }$描述。轴套和轴销的约束力大小相等方向相反（相互作用力）
  • 平面固定销支座：$x$，$y$方向各有一个力。
  • 平面滑动销支座：滑动的方向没有约束力。
  • 基座和多物体组合圆柱销：看作一个轴和多个圆柱销
  • 多物体组合圆柱销：![[Pasted image 20231218170910.png]]
• 平面滑移约束：限制垂直该方向的相对移动和刚体间的相对转动。
• 齿轮副和齿轮-齿条约束：沿接触点公法线方向无相对运动。约束力作用在齿轮-齿条的接触点，沿该点的公法线方向。（也可以用$\vec{F_{x} }$和$\vec{F_{y} }$来表示，只不过二者之间有一个特定的角度$\theta$）
• 纯滚动：有一个平行于接触面限制接触点相对滑动的力$\vec{F_{f} }$，还有一个支持力$\vec{F_{N} }$，但二者没有啮合角的关系
• 球铰约束：用三个垂直的分量取代特定的约束力
• 固定端约束：非自由体不能做任何运动。可等效为一个力系和一个力偶，但方向未知
• 二力杆约束：若杆件两端的铰上的约束力通过各自的几何中心，且杆件上没有其他力的作用，二力杆达成平衡，则不管其为直杆还是曲杆，其两端的约束力大小相等，方向相反且共线。在处理一堆杆的问题时，可以利用这个性质简化问题

力系平衡，很多方程

• 合力：

$$\sum_{i=1}^n \vec{F}_{ix}=0$$ $$\sum_{i=1}^n \vec{F}_{iy}=0$$ $$\sum_{i=1}^n \vec{F}_{iz}=0$$

• 力矩，对某点$C$：

$$\sum^n_{i=1}M_{Cx}(\vec{F_{i} })=0$$ $$\sum^n_{i=1}M_{Cy}(\vec{F_{i} })=0$$ $$\sum^n_{i=1}M_{Cz}(\vec{F_{i} })=0$$

通过拆分刚体系，可以把静不定问题拆分成静定问题，从而求出未知量。

摩擦

• 滑动摩擦：高中物理/大雾一讲过，不再赘述
• 滚动摩擦：等效为一个力$F_{f}$和一个力矩$M_{f}$，均阻碍圆柱/圆球向前滑动/滚动。当$M_{f}$达到极限值时，圆柱开始滚动。若此时尚未达到滑动摩擦力的极限值，则做纯滚动。

刚体平面运动学

• 方向余弦阵

$$\boldsymbol{A}^{rb}=\begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}$$

（记忆：第一行是新基在原$x$轴上的投影，第二行是$y$轴上的投影）

• 将刚体的平面一般运动分解为平移运动和定轴旋转运动
• 连体基的基矢量在参考基$\vec{\boldsymbol{e} }^r$上对时间的导数

$$\frac{^{r}d}{dt} \vec{\boldsymbol{e} }^b=\vec{w} \times \vec{\boldsymbol{e} }^b$$

• 连体基上的矢量对时间的导数：

$$\frac{^rd}{dt} \vec{b}=\frac{^bd}{dt} \vec{b}+\vec{w} \times \vec{b}$$

其中，$\vec{w}$是连体基$\vec{\boldsymbol{e}^b}$相对于参考基$\vec{\boldsymbol{e}^r}$的角速度矢量。

• 不同连体基下角速度矢量$\vec{w}$对时间的导数的关系：

$$\frac{^rd}{dt} \vec{w}=\frac{^bd}{dt} \vec{w}$$

• （不同基的）角速度矢量的叠加原理：

$$\vec{w}^{rb}=\vec{w}^{ru}+\vec{w}^{ub}$$

（角加速度亦然）

• 刚体绕平行轴转动合成定理（什么是平行轴运动：小齿轮在大齿轮的边沿上的运动）：相关角速度与角加速度的主体均是“刚体”

$$w^a=w^r+w^e$$ $$\alpha^a=\alpha^r+\alpha^e$$

上标$\alpha$表示“绝对”，$r$表示“相对”，$e$表示“牵连。

• 极坐标系下$c$点的速度与加速度：

$$\vec{v}_{C}=\dot{\rho}_{C} \vec{e_{\rho} }+\dot{\theta}\rho_{C} \vec{e}_{r}$$ $$\vec{a}_{C}=(\ddot{\rho}_{C}-\dot{\theta}^2 \rho_{C}) \vec{e}_{\rho}+(\ddot{\theta} \rho_{C}+2 \dot{\theta} \dot{\rho_{C} }) \vec{e}_{r}$$

刚体上给定点

• 刚体上给定点的速度： 连体基$\vec{\boldsymbol{e} }^b$的基点为$C$，相对参考基$\vec{\boldsymbol{e} }^r$的角速度矢量为$\vec{w}$，与连体基固结的一点为$P$，$\vec{\rho}_{P}$是在连体基$\vec{\boldsymbol{e} }^b$中点$P$的矢径。则有：

$$\vec{v}_{p}=\vec{v}_{c}+\vec{w} \times \vec{\rho}_{P}$$

• 刚体上给定点牵连速度（$\vec{v}_{P}^e$）与绝对速度（$\vec{v}_{P}$）的关系：

$$\vec{v}_{P}=\vec{v}_{P}^e=\vec{v}_{tP}^e+\vec{v}_{wP}^e$$

• 刚体上给定点的加速度： 连体基$\vec{\boldsymbol{e} }^b$的基点为$C$，相对参考基$\vec{\boldsymbol{e} }^r$的角速度矢量为$\vec{w}$，角加速度矢量为$\vec{\alpha}$，与连体基固结的一点为$P$，$\vec{\rho}_{P}$是在连体基$\vec{\boldsymbol{e} }^b$中点$P$的矢径。

$$\vec{a}_{P}=\vec{a}_{C}+\vec{\alpha}\times \vec{\rho}_{P}+\vec{w }\times(\vec{w }\times \vec{\rho}_{P})$$

• 刚体上给定点牵连加速度（$\vec{a}_{P}^e$）与绝对加速度（$\vec{a}_{P}$）的关系：

$$\vec{a}_{P}=\vec{a}_{P}^e=\vec{a}_{tP}^e+\vec{a}_{\alpha P}^e+\vec{a}_{wP}^e$$

• 瞬心：刚体上绝对速度为零的点。 若刚体上两点速度大小相等/速度相互平行但与两点的连线不垂直——刚体瞬时平移。 在运动刚体上瞬心点的轨迹叫瞬心动轨迹；在参考平面上瞬心点的轨迹称为瞬心定轨迹。

刚体上任意点

• 动点$P$的速度：

$$\vec{v}_{P}=\vec{v}_{P}^r+\vec{v}_{P}^e$$

设$P$的牵连点为$P'$，则上式也可以理解为：

$$\vec{v}_{P}=\vec{v}_{P}^r+\vec{v}_{P'}$$

• 动点$P$的加速度： 连体基$\vec{\boldsymbol{e} }^b$的基点为$C$，相对参考基$\vec{\boldsymbol{e} }^r$的角速度矢量为$\vec{w}$，角加速度矢量为$\vec{\alpha}$，与连体基固结的一点为$P$，$\vec{\rho}_{P}$是在连体基$\vec{\boldsymbol{e} }^b$中点$P$的矢径，$\vec{v}_{P}^r$是动点相对其牵连点的速度。 科氏加速度：

$$a_{P}^C=2wv_{P}^r$$ $$\vec{a}_{P}=\vec{a}_{P}^r+\vec{a}_{tP}^e+\vec{a}_{\alpha P}^e+\vec{a}_{wP}^e+\vec{a}_{P}^C$$

计算机辅助分析

• 笛卡尔位形坐标阵：

$$\boldsymbol{q}_{i}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{r}^T_{i} & \phi_{i} \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} x_{i} & y_{i} & \phi_{i} \end{pmatrix}^T$$ $$\boldsymbol{q}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{q}_{1}^ T & \boldsymbol{q}_{2}^ T & ··· & \boldsymbol{q}_{N}^ T \end{pmatrix}$$

• 位形约束方程： 整体法：按照$x$，$y$坐标上的某些约束条件列出方程。 局部法：理论上，应该列一堆复杂的方程——但实际上，直接用相邻刚体之间的关系进行分析。 要写成xx=0的形式。
• 自由度$\delta$，这些坐标称为系统的独立坐标和广义坐标，坐标阵为$\boldsymbol{w}$，其余坐标，非独立坐标阵$\boldsymbol{u}$
• 坐标阵的表达：

$$\boldsymbol{q}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{u}^T & \boldsymbol{w}^T \end{pmatrix}^T$$

• 系统约束方程：

$$\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q} },t)=\boldsymbol{0}$$

只含坐标与时间的约束方程描述的约束称为完整约束。 此时：（$s$是完整约束的约束方程个数）

$$\delta=n-s$$

• 自由度的判断：一个刚体三个自由度，一个铰减去两个自由度，平面约束减去一个自由度。 一些约束方程不可积，称为非完整约束。 不含时间的，定常约束。 不等式方程：单面约束；等式：双面约束
• 速度约束方程： 对

$$\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{q})=\boldsymbol{0}$$

求导。

$$\boldsymbol{\dot{\Phi} }\overset{\underset{\mathrm{def} }{} }{=}\boldsymbol{\Phi_{q}\dot{q} }+\boldsymbol{\Phi_{i} }=\boldsymbol{0}$$ $$\boldsymbol{\Phi_{i} }=\begin{pmatrix} \frac{\partial\Phi_{1} }{\partial q_{1} } & \cdot\cdot \cdot & \frac{\partial\Phi_{s} }{\partial q_{s} } \end{pmatrix}^T$$

约束方程的雅可比矩阵：

$$\boldsymbol{\Phi_{q} }=\begin{pmatrix} \frac{\partial\Phi_{1} }{\partial q_{1} } & \cdot\cdot \cdot & \frac{\partial\Phi_{1} }{\partial q_{n} } \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial\Phi_{s} }{\partial q_{1} } & \cdot\cdot \cdot & \frac{\partial\Phi_{1} }{\partial q_{n} } \end{pmatrix}$$

系统的位形速度阵：

$$\boldsymbol{\dot{q} }=\begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_{i}^T & w_{i} \end{pmatrix}$$

• 加速度约束方程：

$$\boldsymbol{\Phi_{q}\ddot{q} }=-\boldsymbol{(\Phi _{q}\dot{q})_{q}\dot{q} }-2\boldsymbol{\Phi_{qi}\dot{q} }-\boldsymbol{\Phi_{ii} }$$

位形加速度阵：

$$\boldsymbol{\ddot{q} }=\begin{pmatrix} \boldsymbol{a_{i} }^T & \alpha_{i} \end{pmatrix}^T$$

• 方便的方法： 直接对约束方程求导，分解出相关矩阵（例5.1-1）

矢量动力学

基础知识

• 转动惯量

$$J_{Oi}\overset{\underset{\mathrm{def} }{} }{=}m \rho_{i}^2(i=x,y,z)$$

$\rho_{i}$是刚体对$Oi$的回转半径。

• 惯性积

$$J_{Oxy}\overset{\underset{\mathrm{def} }{} }{=}\sum_{k}m_{k}x_{k}y_{k}$$

（另外两个公式不想写了，看书或者脑补一下吧）

• 若惯性积$J_{Oxz}$与$J_{Oyz}$为$0$，则$Oz$轴为刚体的惯量主轴。
  • 质量对称轴
  • 垂直于质量对称面
• （中心）惯量主轴连体基/（中心）主转动惯量（带中心的跟质量相关）
• 转动惯量平行轴定理（注意，是质心！！！）

$$J_{Ox}=J_{Cx}+mh_{x}^2$$

• 转动惯性积的平行轴定理

$$J_{Oxy}=J_{Cxy}+mx_{C}y_{C}$$

• 动量

$$\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}_{C}$$

• 动量定理（积分形式）

$$\vec{I}=\int ^t_{t_{0} } \vec{F}_{R } dt$$

• 质心运动定理

$$m \boldsymbol{a}_{C}= \boldsymbol{F} _{R}$$

• 质点系外力主矢为$0$，动量守恒
• 变质量质心运动定理

$$m \ddot{\vec{r} }_{C}= \vec{F}_{R}+\vec{v}_{P}^r\frac{dm}{dt}$$

其中$\vec{v}_{P}^r$是附加质量相对质心$C$的相对速度。

• 动量矩

$$\vec{L}_{O}=\sum^n_{k=1}\vec{r}_{k}\times m_{k} \vec{v}_{k}$$

在三个轴的分量分别是对该轴的动量矩。 平移刚体的动量矩：

$$\vec{L}_{O}= \vec{r}_{C}\times \vec{p}$$

定轴转动（绕$Oz$轴）刚体的动量矩：

$$L_{Oz}=J_{Oz}w$$

• 刚体系对定点的动量矩定理：

$$\dot{\vec{L} }_{O}=\vec{M}_{O}$$

定轴（$Oz$）转动：

$$J_{Oz}\ddot{\phi}=M_{Oz}$$

• 质点系外力主矩为$0$时，动量矩保持不变。
• 动能（柯尼希定理）（绕质心运动）

$$T=\frac{1}{2}mv_{c}^2+\frac{1}{2}J_{Cz}w^2$$

• 瞬心与动能（绕瞬心转动）

$$T=\frac{1}{2}J_{Sz}w^2$$

• 做功

$$dW=\vec{F}_{R}\cdot d \vec{r}_{C}+\vec{M}_{C}d \vec{\phi}$$

$d\phi$是刚体旋转的一个小角度。

• 动能定理

$$T-T_{0}=W+W'$$

• 机械能守恒

$$T+V=const$$

对动点的动量矩（重要）

• 质点系对动点$D$的绝对动量·矩和相对动量·矩的关系：

$$\vec{L}_{D}=\vec{L}_{D}'+\vec{d}_{C} \times m\vec{v}_{D}$$

$\vec{d}_{C}$是系统质心对动点的矢径。

• 当$D$点取为质点系的重心$C$时，$\vec{d}_{C}=0$ 故：

$$\vec{L}_{C}=\vec{L}_{C}'$$

平面运动刚体对质心的绝对动量矩

$$L_{Cz}=J_{Cz}w$$

• 对任意动点（$D$）和对其质心（$C$）（绝对/其实也是相对）动量矩的关系

$$\vec{L}_{D}=\vec{L}_{C}'+\vec{d}_{C} \times \vec{p}$$

（$p$是质点系的动量） 也可以令$D$点的速度为$0$。如果质点系是一个刚体，则刚体对定点的动量矩可以看作质心平移动量矩和绕质心的定轴转动的动量矩之和。

• 对瞬心$S$定轨迹点$S'$的绝对动量矩

$$L_{S'z}=J_{Sz}w$$

• **对动点（$D$）的动量矩定理

$$\dot{\vec{L} }_{D}+\vec{v}_{D}\times \vec{p}=\vec{M}_{D}$$

$\vec{v}_{D}$是动点的速度，$\vec{p}$是质点系动量**

• 对质心的动量矩定理（上式代入）

$$\dot{\vec{L} }_{C}=\vec{M}_{C}$$

刚体动力学

• 刚体平面运动条件：（五个动力学方程，力$x$，$y$方向各一个，力矩三个方向共三个）+刚体运动平面的法线方向应为刚体的一主轴
• 单刚体动力学方程组

$$m \boldsymbol{\ddot{r} }_{C}=\boldsymbol{F}^a+\boldsymbol{F}^n$$

其中$\boldsymbol{F}^{a}$是主动力，$\boldsymbol{F}^n$是理想约束力

• 刚体系动力学方程组中的每个刚体可以写成

$$\boldsymbol{Z}_{i} \boldsymbol{\ddot{q} }_{i}=\hat{\boldsymbol{F} }_{i}^a+\hat{\boldsymbol{F} }_{i}^n$$ $$\boldsymbol{Z}_{i} =\begin{pmatrix} m_{i} & 0 & 0 \\ 0 & m_{i} & 0 \\ 0 & 0 & J_{Ci} \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{ {q} }_{i}=\begin{pmatrix} x_{Ci} \\ y_{Ci} \\ \phi_{i} \end{pmatrix}$$ $$\hat{\boldsymbol{F} }_{i}^a=\begin{pmatrix} F_{ix}^a \\ F_{iy}^a \\ M_{Ci}^a \end{pmatrix}$$ $$\hat{\boldsymbol{F} }_{i}^n=\begin{pmatrix} F_{ix}^n \\ F_{iy}^n \\ M_{Ci}^n \end{pmatrix}$$

• 碰撞因数 接触变形阶段碰撞的两物体受到冲量$I$；变形恢复阶段两物体受到冲量$I'$

$$e=\frac{I'}{I}$$

初速度$v_{10}$与$v_{20}$，碰后速度分别为

$$v_{1\tau}=v_{10}+(1+e) \frac{m_{2}(v_{20}-{v_{10} })}{m_{1}+m_{2} }$$ $$v_{2\tau}=v_{20}+(1+e) \frac{m_{1}(v_{10}-v_{20})}{m_{1}+m_{2} }$$ $$e= \frac{v_{2\tau}-v_{1\tau} }{v_{10}-v_{20} }$$

• 动量矩的变化（冲量出现在铰处与滑移约束处） 定轴（$Z$轴）转动刚体

$$L_{Oz\tau}-L_{Oz0}=\sum^n_{k=1} M_{Oz}(\vec{I}^a_{k})$$

方程右端为主动碰撞力的冲量。 平面运动刚体（注意，轴是质心所在轴）

$$L_{Cz\tau}-L_{Cz_{0} }=\sum_{k=1}^n M_{Cz}(\vec{I}_{k})$$

方程右端为所有碰撞力对质心的矩之和 只能找定轴+沿质心运动的，其他的不行。

分析力学基础

• 达朗贝尔原理（动力学问题→平衡的静力学问题）

$$\sum^n_{k=1} \vec{F}_{k}+\sum^n_{k=1} \vec{F}_{k}^*=\vec{0}$$ $$\sum^n_{k=1} \vec{M}_{O}(\vec{F}_{k})+\sum_{k=1}^n \vec{M}_{O}(\vec{F}_{k}^*)=\vec{0}$$

其中，作用于刚体的外力可以分为理想约束力和主动力。 可以移动惯性力的主矢，让求解更方便。（力矩表达式也要相应变化，这一点要注意）

• 刚体惯性力系的主矢

$$\vec{F}^*=-\dot{\vec{p} }=-ma_{C}$$

• 刚体惯性力系的主矩

$$\vec{M}_{C}^*=-\frac{d\vec{L}_{C} }{dt}$$

• 定轴转动刚体（重心不在主轴上）的惯性力主矢与主矩 计算主矩时，可以用：

$$\vec{M}_{O}^*=\sum_{k} \vec{r}_{k} \times \vec{F}_{k}^*$$ $${M}_{O}^*=J_{O}\alpha$$

向定轴简化。

• 虚位移

$$\delta\boldsymbol{q}=\begin{pmatrix} \delta x \\ \delta y \end{pmatrix}$$

求虚位移的方法： 坐标法：先写出坐标之间的关系，然后求等时变分 速度法：利用速度关系解题

• 虚功原理（平衡的静力学问题→“动力学”问题）

$$\delta W=\sum_{k=1}^a \vec{F}_{k}^a \times \delta \vec{r}_{k}=0$$

$\vec{F}_{k}^a$是主动力。 对于无自由度的结构问题，可以把约束力相关的约束解除，将约束力作为主动力处理。也可以逐步解除每个方向的约束——会比较方便。

• 广义力（关于广义坐标/独立坐标）

$$Q_{j}=\sum^n_{k=1} \boldsymbol{F}^{aT}_{k} \frac{ {\partial \boldsymbol{r}_{k} }}{\partial w_{j} }$$

系统平衡的充分必要条件是：所有关于广义坐标的广义力都为零。 计算广义力的方法： 先求出虚功，之后合并同类项，找到广义坐标前的系数。 或者取广义坐标的变分，令其他广义坐标的变分为$0$，可得：

$$Q_{k}=\frac{ {\partial W} }{\partial w_{k} }$$

其他

• 载荷集度：载荷集度乘以长度就是集中力大小。
• 纯滚动+相对速度，注意纯滚动条件是针对相对速度的。
• $\frac{1}{2}Jw^2$的$\frac{1}{2}$不要忘了
• 注意冲量矩
• 根据约束方程可以把复杂的运动化为一堆杆
• 三力汇交
• 刚体先找速度关系