电路实验

叠加定理和戴维宁定理

• 连线注意：左 $16V$ ，右 $10V$
• 叠加定理：由线性电阻元件和独立电源组成的电路 $N$ 每一支路的响应都等于各个独立源单独作用于电路 $N$ 时在该支路中产生的响应的代数和。
  • 示意图：
  • 需要测量： $U_{AB}$ $U_{AC}$ $U_{BC}$ $I_{BC}$
• 戴维宁定理：任何线性含源电阻电路 $N$ 可以用一个独立电压源 $u_{oc}$ 与一个电阻 $R_{eq}$ 的串联组合来等效， $u_{oc}$ 为开路电压， $R_{eq}$ 为电路中全部独立电源置零后所得的等效电阻。
  • 后者直接测电压和电流，计算出等效电阻，并验证戴维南等效。
  • 计算出等效电压与等效电阻
  • 验证戴维南等效
  • 数据： $R_{eq}=115\Omega$ 左右。
• 二端口特性
• 注意事项：
  • 电流表串联接入，电压表并联接入
  • 注意实验中使用电压源的负号
  • 电路变量的参考方向一致
  • 注意电流电压方向是否一致
  • 记录量程和内阻，考虑内阻的影响并测量误差
• 双路直流稳压电源的工作方式 $3$ 种，分别是独立使用、串联使用和并联使用，本实验是独立使用。
• 思考题：
  • 独立电压源用导线替代，导线本身有内阻，使得电流变小；电流表内阻使得 $i$ 变小，等效电阻 $R_{i}$ 变大；电压表内阻越大，测量误差越小
  • 戴维宁定理的使用条件：电路必须是线性电阻，电路和电路之间不存在其他耦合关系。
  • 求含源二段的入端等效电阻的方式：调整电阻箱阻值获取 $U-I$ 图，斜率即为等效阻值。

特勒根定理和互易定理

• 特勒根定理，可以应用于非线性电路与时变电路：
  • 功率守恒 $\sum_{k=1}^bu_{k}i_{k}=0$
  • 具有相同有向图的两个网络支路电压和支路电流的乘积之和为 $0$ ， $\sum_{k=1}^bu_{k} \hat{i}_{k}=0$ 或 $\sum_{k=1}^b \hat{u}_{k}i_{k}=0$ 。
• 验证一：
• 验证二：
• 先画参考方向，测量每个元件两端的 $u$ ，$i$ ，计算其和是否为 $0$ 即可。
• 互易定理：具有互易性的网络在单一激励下产生的相应，当激励与响应互换位置时，比值保持不变
  • 适用于无源线性非时变电路，若有独立源或受控源，非线性元件，时变元件等，该电路就不能用互易定理。
  • 1：线性电阻电路两个端钮，一端施加输入电压，另一端得到输出电流，二者的比值一定。
  • 2：线性电阻电路两个端钮，一端施加输入电流，另一端测量电压，二者的比值一定。
  • 3：线性电阻电路两个端钮，一端施加输入电流，另一端测量输出电流，二者的比值等于输入电压和输出电压的比值。（注意比值取决于电流/电压的输出/输入）
• 连线：
• 直流稳压电源调节电压/电流的方法：
  • 作为电压/流源使用的时候，首先将电流/压旋钮顺时针调最大，将电压/流源逆时针调到最小，接上负载，之后再顺时针调节电压/流至要求的值，此时稳压/流指示灯灭，另一个指示灯亮。
• 电流表各符号含义
  • 磁电系/直流/以标尺长度百分数的准确度级别/标度尺位置为水平/绝缘强度实验电压为 $500V$
• 互易定理由特勒根定理推出，但适用范围更窄。

一阶电路的响应

• 基本：
  • $\tau=RC$ ，每过 $\tau$ ，就衰减到原值的 $36.8\%$ ， $\tau$ 越小，放电过程就越快，$t=4\tau\sim 5 \tau$ 时，放电基本结束，电路处于稳态。
  • 零输入响应：$u_{c}=U_{0}e^{ -t/RC }$
  • 零状态响应： $u_{c}+u_{Ch}+u_{Cp}=U(1-e^{ -t/RC })$
• 图图：
  • 充放电电容电压波形（电压波形）
  • 充放电电阻电压波形（电流波形）
• 使用直流稳压源
• 示波器使用
  • 耦合：直流
  • 反相：关
  • 带宽：全带宽
  • 探头设置：电压类型， $1X$
  • $Y$ 轴衰减： $2V/cm$
  • $X$ 轴扫描速率： $400ms$
• 结果图，取 $4\sim 6$ 个点：
• 充电时，电压增大，电流减小，变化率逐渐减小至 $0$ ，放电时，电压和电流均减小，变化率逐渐减小至 $0$ ， $\tau$ 越大，电压电流变化速度越慢，反之越快
• 应用：微分电路/积分电路，避雷器测试电路，滤波电路等。

二阶电路的响应

• 二阶常微分方程： $\frac{d^2u_{C}}{dt^2}+\frac{R}{L} \frac{du_{C}}{dt}+\frac{1}{LC}u_{c}=\frac{1}{LC}u_{s}$
  • 阻尼系数 $\alpha=\frac{R}{2L}$ ，谐振角频率 $w_{0}=\frac{1}{\sqrt{ LC }}$
  • $\frac{d^2u_{c}}{dt^2}+2\alpha \frac{du_{C}}{dt}+w_{0}^2u_{c}=w_{0}^2u_{S}$
  • $s=-\alpha\pm\sqrt{ \alpha^2-w_{0}^2 }$
  • 过阻尼： $\alpha>w_{0}$
  • 临界阻尼： $\alpha=w_{0}$
  • 欠阻尼： $\alpha<w_{0}$ ，此时： $w_{d}=\sqrt{ w_{0}^2-\alpha^2 }$ ， $w_{d}$ 决定振荡的快慢，$\alpha$ 决定衰减的快慢。计算：
  • 无阻尼： $\alpha=0$
• 实验电路图
  • 电容电压：
  • 电阻电压：
• 实验仪器：
  • 示波器观察电压注意接地，信号源设为高阻状态
  • 输出方波信号的周期需大于 $2$ 倍的暂态响应时间。
• 产生无阻尼振荡：电阻值为 $0$ 时
• 放大振荡：$R<0$ 时，可以产生放大振荡（利用具有内阻的电压源作为激励），不能放大到无穷大
• 方波周期过短，波形无法达到稳态值
• 欠阻尼且 $RLC$ 串联，回路电阻增加，振荡衰减变快（因为是 $e^{ -\alpha t }$ ）， $RLC$ 并联情况下， $\alpha=\frac{1}{2RC}$ ，增加回路电阻振荡衰减变慢。
• 测衰减常数 $\alpha$ ： 测量电容电压充电到两个峰值 $U_{1m}$ ， $U_{2m}$ 之间的时差 $T$ ，之后计算 $w_{0}=\frac{2\pi}{T}$ ， $\alpha=\frac{1}{T}\ln \frac{U_{1m}}{U_{2m}}$

RLC串并联谐振

• 串联谐振： $I=\frac{U_{S}}{Z}=\frac{U_{S}}{\sqrt{ R^2+\left( wL-\frac{1}{wC} \right) }}$ ，当 $wL-\frac{1}{wC}=0$ 时，电压谐振，$w_{0}=\frac{1}{\sqrt{ LC }}$ ，此时电路阻抗呈阻性，电流取最大值。如果 $w<w_{0}$ ，电路呈容性；如果 $w>w_{0}$ ，电容呈感性，
  • $U_{L}$ 和 $U_{C}$ 数值相等，相位差 $180^\circ$
  • $Q=\frac{U_{L}}{U_{S}}=\frac{U_{C}}{U_{S}}=\frac{w_{0}L}{R}=\frac{1}{w_{0}CR}=\frac{1}{R}\sqrt{ \frac{L}{C} }$ ，令 $\eta_{1}$ ， $\eta_{2}$ 为通用谐振曲线上 $\frac{I}{I_{0}}=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$ 的值，可得 $Q=\frac{1}{\eta_{2}-\eta_{1}}$
  • 幅频特性： $I=\frac{U_{s}}{\sqrt{ R^2+\left( wL-\frac{1}{wC} \right)^2 }}$
  • 谐振曲线：$\eta=\frac{w}{w_{0}}$ ，$\frac{I}{I_{0}}=\frac{1}{\sqrt{ 1+Q^2\left( \eta-\frac{1}{\eta} \right)^2 }}$
• 并联谐振：谐振条件： $w_{0}C=\frac{w_{0}L}{(w_{0}L)^2+R^2}$ ，谐振时 $w_{0}=\sqrt{ \frac{1}{LC}-\frac{R^2}{L^2} }$ ， $Q=\frac{w_{0}L}{R}=\sqrt{ \frac{L}{R^2C}-1 }$
  • 通用谐振曲线与串联一致。串入取样电阻，改变输入信号的频率，并联谐振时，取样电阻上的电压最小。
• 电路图与计算
  • 串联谐振：
    • 测量 $4.0\sim 6.0kHz$
    • 计算 $\frac{I}{I_{0}}$ ：通过 $I=\frac{U_{R}}{R}$ 计算
    • 品质因数 $Q$：
      • 理论值： $Q=\frac{1}{R+R_{L}}\sqrt{ \frac{L}{C} }$
      • 实际值： $Q=\frac{2\pi f_{0}L}{R+R_{L}}$
  • 并联谐振：
    • 测量范围：同上
    • 计算 $\frac{{\mid Z\mid}}{Z}$ ：$\mid Z \mid=\frac{U_{1}}{\frac{U_{r_{0}}}{r_{0}}}$ ，$Z=\frac{U_{r_{0}}(f=f_{0})}{\frac{U_{r_{0}}(f=f_{0})}{r_{0}}}$
    • 品质因数 $Q$ ：
      • 理论值： $Q= \sqrt{ \frac{L}{R_{L}^2C}-1 }$
      • 实际值： $Q=\frac{2\pi f_{0}L}{R}$
  • 注意事项：
    • 改变信号发生器的频率后，需要检测输出电压恒定不变
    • 实验前用万用表的电阻档测量电感线圈的内阻，并记录
    • 开始实验之前设置高阻，信号源设置 $rms$
  • 思考题：
    • 谐振时， $U_{C}\neq U_{L}$ ，因为电感线圈中存在电阻
    • $Q$ 越小，曲线越矮胖， $Q$ 越大，曲线越瘦高。

电路的频率特性

• 低通电路
  • $H(jw)=\frac{\dot{U}_{2}}{\dot{U}_{1}}=\frac{1}{1+jwRC}$
  • $w_{0}=\frac{1}{RC}$ ，幅频特性 $\mid H(w)\mid=\frac{1}{\sqrt{ 1+\left( \frac{w}{w_{0}} \right)^2 }}$
  • 测量范围 $200,500,1k,1.5k,f_{0},2k,3k,5k,10k Hz$
• 高通电路
  • $H(jw)= \frac{jwRC}{1+jwRC}$
  • 截止频率： $w_{0}=\frac{1}{RC}$ ，幅频特性 $\mid h(jw)\mid=\frac{\frac{w}{w_{0}}}{\sqrt{ 1+\left( \frac{w}{w_{0}} \right)^2 }}$
  • 测量范围 $100,150,200,250,300,f_{0},500,1k,5k,10k$
• 带通电路：由高通电路和低通电路组合而成。
  • 有两个截止频率 $w_{1}$ ， $w_{2}$ 。
  • 测量范围 $50,100,200,f_{1},400,500,f_{0},1k,2k,f_{2},3k,5k,10k$
• 电路图与数据处理（低容高阻）
  • 低通滤波
  • 高通滤波
  • 带通滤波（先是高通然后是低通）
    • 先找 $U_{max}$ ，之后再找两个 $0.707U_{max}$ 。
• 仪器：使用信号发生器
• 开始实验之间设置高阻，电压是有效值
• 产生误差的原因
  • 器件实际值与标准值不同
  • 电源与导线存在一定内阻
  • 电源输出频率与电压不稳定

交流参数的测量

• 测量纯电阻器和电容器：
• 自耦调压变压器
  • 通电前将电压调到 $0$ ，之后缓缓增大电压。
  • 使用完毕后，先将输出电压调至零位，然后断开电源。
• 电压表和单相功率表：
• 测电阻：
  • 已知 $I$ ，要测 $U$ $P$
  • 计算： $R=\frac{U}{I}$ ， $R=\frac{U^2}{P}$
• 测电容：
  • 已知 $U$ ，要测 $I$ $P$
  • 计算： $X_{C}=\frac{U_{C}}{I}$ $C=\frac{I}{2\pi fU}$ （ $X_{c}=\frac{1}{2\pi f}C$ ）
• 测电感：
  • 已知 $I$ ，要测 $U$ $P$
  • 首先计算 $R_{L}=\frac{P}{I^2}$ ，之后 $Z_{L}=\frac{U}{I}$ ， $X_{L}=\sqrt{ Z_{L}^2-R_{L}^2 }$ ， $L=\frac{X_{L}}{2\pi f}$
• 测定复阻抗：
  • 计算 $Z=(R+R_{L})+j(X_{L}-X_{C})$
    • $X_{L}>X_{C}$ 为感性，反之亦然
• 三电压表法：
  • 电路图
  • 接线图：
  • 相量图：
  • 求 $R_{RL}$ 和 $L$ ：先求 $\cos \phi_{L}=\frac{{U^2-U_{1}^2-U_{2}^2}}{2U_{1}U_{2}}$ ， $Z_{L}=\frac{U_{2}}{I}$ ，$R_{L}=Z_{L}\cos \phi_{L}$ ，$X_{L}=\sqrt{ \mid Z_{L}\mid^2-R_{L}^2 }$ ，得到 $L=\frac{X_{L}}{2\pi f}$
• 相量图：$U_{C}$ 向下， $U_{L}$ 向上。
• 注意：
  • 分清电源的相线和中线
  • 合上电源前，首先将调压器的输出调至零位
  • 实验中电感器的铁芯位置应保持不变
  • 严禁带电改接电路
  • 身体任何部分不得接触金属裸露部分
• 可以用功率因数表代替功率表，可以直接获得功率因数
• 通过并联电容判断负载是感性还是容性

提高感性负载的功率因数

• 电路图
  • 功率表接线电路
  • 日光灯电路
• 接线图
• 不接电容时，测量 $I$ ，$U$ ，$P$ ，$U_{R}$ 和 $U_{L}$
• 计算等效电阻： $R=\frac{U^2}{P}$
• 计算电感： $Z=\frac{U}{I}$ ， $X_{L}=\sqrt{ Z_{L}^2-R_{L}^2 }$ ， $L=\frac{X_{L}}{2\pi f}$ 。
• 之后可以计算功率因数 $\cos \phi$
• 接电容后：每个电容测 $I$ ， $I_{L}$ 与 $I_{C}$ ，计算相应的 $\phi$ 和 $\cos \phi$ 。（计算时使用 $P=UI \cos \phi$ ，其中 $U$ 已经在前面测出）
• 注意事项
  • 正确接线，切勿把 $220V$ 电源接到日光灯管两端。
  • 接通电源前，电路中所有电容器的控制开关置于 $OFF$ 位置。
• 电流表示数（绝对值）最小时，功率因数为 $1$ 。
• 缺少启辉器如何点亮：在灯管两端并联一个开关，先闭合开关一段时间，稳定后断开开关即可点亮。
• 提高功率因数的原理：使用在感性负载两端并联电容器的方法提高功率因数，因为电容器的无功功率可以补偿感性负载的无功功率，从而减少甚至消除感性负载于电源之间无功功率的切换。 $\cos \phi_{1}\to \cos \phi_{2}$ ，有功功率不变，无功功率分量减小。

三相电路的电压与电流

• 相序图： （ $U-V-W$ 顺时针，称为正序，反之称为逆序）
• 线与相
  • 相电压：电源 or 负载两端的电压
  • 相电流：流过电源 or 负载的电流
  • 线电压：端线之间的电压
  • 线电流：流过各端线的电流
  • 流过中线的电流叫中线电流
• 星形联结： $U_{L}=\sqrt{ 3 }U_{P}$ ， $I_{L}=I_{P}$
  • 
  • $\dot{U}_{UV}= \dot{U}_{U}\sqrt{ 3 } \angle 30^{\circ}$
• 三角形联结： $I_{L}=\sqrt{ 3 }I_{P}$ ，$U_{L}=U_{P}$
  • 
  • $\dot{I}_{U}=\dot{I}_{U'V'}\sqrt{ 3 }\angle-30^{\circ}$
• 不对称三相电路： $\dot{U}_{N'N}=\frac{{\frac{\dot{U}_{U}}{Z_{U}}+\frac{\dot{U}_{V}}{Z_{V}}+\frac{\dot{U}_{W}}{Z_{W}}}}{\frac{1}{Z_{U}}+\frac{1}{Z_{V}}+\frac{1}{Z_{W}}}$
• 三相电源相序测定电路：
  • $\dot{U}_{NN'}=\frac{{jwC\dot{U}_{U}+\frac{\dot{U}_{V}}{R}+\frac{\dot{U}_{W}}{R}}}{jwC+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}} \approx(-0.2+j0.6)\dot{U}_{U}$
  • 解得 $\dot{U}_{VN}=\dot{U}_{V}-\dot{U}_{N'N}\approx 1.5\dot{U}_{U}$ ，$\dot{U}_{WN'}\approx 0.4\dot{U}_{U}$
  • 若电容元件为 $U$ 相，则白炽灯较亮的为 $V$ 相，较暗的为 $W$ 相。
• 三相四线制
  • 负载对称 / $U$ 相为 $4\mu F$ 电容 / $U$ 相开路
  • 测相电压，线电压，$U_{NN'}$ ， $I_{N}$ ，线电流。
• 然后三相三线制，星形联结，只用测线电压和线电流，其他都同上
• 三相三线制，三角形联结，测线电流和相电流。
  • 示意图
  • 负载对称 / $UV$ 相是 $4\mu F$ 电容 / $UV$ 相为开路
• 画相序图
  • 电容电流超前，电感电流之后
  • 三线制+电容：
  • 三角形+电容：
• 无论负载如何变化，各相电压相等，中性线起平衡电压的作用，对称时中性线电流为 $0$
• 三角形连接某一相电源断开，与电源线相关的灯泡变暗，无关的灯泡亮度不变。

三相电路的功率测量

• 对称三相电路中 $P=3U_{P}I_{P}\cos \phi_{p}$
  • 星形联结 / 三角形联结 $P=\sqrt{ 3 }U_{L}I_{L}\cos \phi_{p}$
• 三瓦计法（测的都是相电压和相电流）
• 二瓦计法（测线电压/线电流）
  • 测 $U_{UV}$ 和 $U_{VW}$ ，$I_{U}$ 和 $I_{V}$
  • 单只功率表的读数无物理意义
  • 推理的前提：中线无电流流过
  • 二瓦计法不适用于不对称三相四线制电流
  • 负载为感性 or 容性时，功率表读数为负
• 图：
• 插孔：
• 功率表的电流线圈与电压线圈 $*$ 端用导线短接
• 短接桥：先开启电源，后将电流插头插入电流炒作，以免因电源短路or电容的冲击电流过大造成电表损坏。电路正常工作后，再拔出短接桥，记录功率表的示数。
• 三瓦计法不会出现负值，因为是有功功率
• 二瓦计法在容性 or 感性负载出现负值。