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半导体器件

参考： PPT 半导体器件基础

BJT​

  • 双极晶体管，三个扩散区，两个 PN 结，发射极 (E) ，基极 (B) ，集电极 (C) 。
  • 掺杂浓度：发射极浓度最高，基极次之，集电极浓度最低。BE 结正偏， BC 结反偏时，电子从发射极越过基极被电场扫到集电极。只有在发射极时，电子是多子，在基极电子是少子。为了让电子不与基极的空穴复合，基极的宽度会非常小。
  • 考虑到 BJT 是少子器件，因此在对 BJT 进行分析时，也从少子的角度入手。
  • BJT 工作特性与参数
    • 电流与电压
      • IE=IB+ICI_{E}=I_{B}+I_{C}
      • VEB+VBC+VCE=0V_{EB}+V_{BC}+V_{CE}=0
    • 参数（PNP BJT）
      • 发射效率：γ=IEp(少子的电流)IEp+IEn(总发射极电流，在这里保持常数)\gamma=\frac{I_{Ep}(少子的电流)}{I_{Ep}+I_{En}(总发射极电流，在这里保持常数)} 少子造成的电流占比越大，输出的电流就越大。0≤γ≤10\leq\gamma\leq 1 希望它尽可能接近 11 以获得增益。
      • 基区输运系数： β∗=ICp(进入集电区的少数载流子)IEp(进入到基区的少数载流子)\beta^*=\frac{I_{Cp}(进入集电区的少数载流子)}{I_{Ep}(进入到基区的少数载流子)} 是在基区复合的载流子数量的表征。0≤αT≤10\leq\alpha_{T}\leq 1 ，因为我们当然希望复合越少越好。
      • 集电区倍增因子： α∗=IC(总集电极电流)IpC(集电极少子电流)\alpha^*=\frac{I_{C}(总集电极电流)}{I_{pC}(集电极少子电流)}
      • 共基极电流放大系数： α=ICIE=γβ∗α∗\alpha=\frac{I_{C}}{I_{E}}=\gamma\beta^*\alpha^*
      • 共射电流放大系数 β=ICIE−IC=α1−α\beta=\frac{I_{C}}{I_{E}-I_{C}}=\frac{\alpha}{1-\alpha}
  • 静态（直流）特性（发射极正偏，集电极反偏）
    • 基本假设：
      • 非简并，均匀掺杂（因此基区没有电场）的发射区，基区和集电区
      • 稳态条件
      • 准中性区小注入水平
      • 晶体管内只有漂移、扩散、热复合-产生过程发生
      • 耗尽区内热复合-产生可忽略
      • 发射区-集电区准中性层宽度远大于这些区域的少数载流子扩散长度
    • 思路：考虑到 BJT 是少子器件：少子浓度（特定点 →\to 少子分布） →\to 电流密度 →\to 电流-电压方程 →\to 从器件角度得到相关参数。
      • 特定点（耗尽层边缘）的少子浓度：利用半导体物理知识总结之中的两个公式，可以求出特定点的少数载流子浓度。
        • pE(x=−xE)=pE0⋅exp⁡(qVBEkT)p_E\left(x=-x_E\right)=p_{E0} \cdot \exp\left(\frac{qV_{BE}}{kT}\right)
        • nB(x=0)=nB0⋅exp⁡(qVBEkT)n_B\left(x=0\right)=n_{B0} \cdot \exp\left(\frac{qV_{BE}}{kT}\right)
        • nB(x=xB)=nB0⋅exp⁡(qVBCkT)≈0n_B\left(x=x_B\right)=n_{B0} \cdot \exp\left(\frac{qV_{BC}}{kT}\right) \approx 0
        • pC(x=x2)=pC0⋅exp⁡(qVBCkT)≈0p_C\left(x=x_2\right)=p_{C0} \cdot \exp\left(\frac{qV_{BC}}{kT}\right) \approx 0
      • 计算少子分布
        • 基区：考虑少子分布计算的连续性方程： ∂n∂ t = ∂n∂ t∣drift + ∂n∂ t∣diff + ∂n∂ t∣thermalR−G+∂n∂ t∣(light.etc)other\frac{\partial n} {\partial\, t} \,=\, \frac{\partial n} {\partial\, t} \bigg|_{d r i f t} \,+\, \frac{\partial n} {\partial\, t} \bigg|_{d i f f} \,+\, \frac{\partial n} {\partial\, t} \bigg|_{t h e r m a l \atop R-G}+\left. \frac{\partial n} {\partial\, t} \right|_{\stackrel{o t h e r} {(li g h t. e t c )}} 根据上面的条件和假设，以及基区少数载流子扩散长度 LB=Dn⋅τnL_{B}=\sqrt{ D_{n}\cdot \tau_{n} } ，得到： ∂2δn∂x2−δnLB2=0\frac{\partial^2 \delta n}{\partial x^2} - \frac{\delta n}{L_B^2} = 0 求出通解并带入边界条件（除了上面求出的一个，还有 δnB(x=WB)=−nB0\delta n_B(x=W_B) = -n_{B0}）并化简，可以得到： nB(x)=δn(x)+nB0=nB0{[exp⁡(qVBEkT)−1](1−xWB)−xWB+1}=nB0exp⁡(qVBEkT)(1−xWB)n_B(x) = \delta n(x) + n_{B0} = n_{B0} \left\{ \left[ \exp\left( \frac{qV_{BE}}{kT} \right) - 1 \right] \left( 1 - \frac{x}{W_B} \right) - \frac{x}{W_B} + 1 \right\} = n_{B0} \exp\left( \frac{qV_{BE}}{kT} \right) \left( 1 - \frac{x}{W_B} \right) （在 WB≪LBW_B \ll L_B 时）
        • 可以发现，基区的少子分布呈线性关系。这里的物理含义为 WB≪LBW_{B}\ll L_{B} （在化简时），也就是不考虑复合。如果把这一点代回连续性方程，也会得到类似的结果。
        • 使用类似的办法，可以计算出发射区与集电区的少子分布。
      • 下面，我们可以根据少子浓度的变化，计算其中的扩散电流，这里用到了扩散电流的计算（指菲克第一定律）。如果不考虑 Wb≪LBW_{b}\ll L_{B} 的条件，会发现得到的结果与 VBEV_{BE} 无关。但是，在计算 BJT 的情况时，我们需要考虑这一点。因此有：Jn≈qDnnLJ_n \approx q D_n \frac{n}{L}，也即 Jnb(x)=−qDnbnb0Wbexp⁡(qVBEkT)J_{nb}(x) = - \frac{q D_{nb} n_{b0}}{W_b} \exp\left( \frac{q V_{BE}}{k T} \right)
        • 同理，可以算得其他地方的电流密度：
      • 在这之后，我们可以根据计算得到的电流密度找到理想的电流电压方程了！真不容易！
        • Je=Jpe(x=−x1)+Jnb(x=0)J_e = J_{pe}(x=-x_1) + J_{nb}(x=0) Jc=Jpc(x=x2)+Jnb(x=Wb)J_c = J_{pc}(x=x_2) + J_{nb}(x=W_b) Jb=−(Jc+Je)J_b = - (J_c + J_e)
        • IEI_{E} ：IE≡JeA=a11[exp⁡(qVBEkT)−1]+a12[exp⁡(qVBCkT)−1]I_E \equiv J_e A = a_{11} \left[ \exp\left( \frac{q V_{BE}}{k T} \right) - 1 \right] + a_{12} \left[ \exp\left( \frac{q V_{BC}}{k T} \right) - 1 \right] 其中 a11=−qA[Dnbnb0LBcoth⁡(WbLB)+Dpepe0LE]a_{11} = - q A \left[ \frac{D_{nb} n_{b0}}{L_B} \coth\left( \frac{W_b}{L_B} \right) + \frac{D_{pe} p_{e0}}{L_E} \right] a12=qADnbnb0LBcsch⁡(WbLB)a_{12} = \frac{q A D_{nb} n_{b0}}{L_B} \operatorname{csch}\left( \frac{W_b}{L_B} \right)
          • 基区较窄（ Wb≈LBW_{b}\approx L_{B}） 时：IE=−qA[Dnbnb0Wb+Dpepe0LE]⋅exp⁡(qVBEkT)=IS2⋅exp⁡(VBEVt)I_E = - q A \left[ \frac{D_{nb} n_{b0}}{W_b} + \frac{D_{pe} p_{e0}}{L_E} \right] \cdot \exp\left( \frac{q V_{BE}}{k T} \right) = I_{S2} \cdot \exp\left( \frac{V_{BE}}{V_t} \right)
        • ICI_{C} ：IC≡−JcA=a21[exp⁡(qVBEkT)−1]+a22[exp⁡(qVBCkT)−1]I_C \equiv -J_c A = a_{21} \left[ \exp\left( \frac{q V_{BE}}{k T} \right) - 1 \right] + a_{22} \left[ \exp\left( \frac{q V_{BC}}{k T} \right) - 1 \right] 其中 a21=qADnbnpb0LBcsch⁡(WbLB)=a12a_{21} = \frac{q A D_{nb} n_{pb}^0}{L_B} \operatorname{csch}\left( \frac{W_b}{L_B} \right) = a_{12} a22=−qA[Dnbnb0LBcoth⁡(WbLB)+Dpcpc0LC]a_{22} = - q A \left[ \frac{D_{nb} n_{b0}}{L_B} \coth\left( \frac{W_b}{L_B} \right) + \frac{D_{pc} p_{c0}}{L_C} \right]
          • 基区较窄：α=γβ∗α∗≈(1−Wb22LB2)/(1+ρsh,eρsh,b)\alpha = \gamma \beta^* \alpha^* \approx \left(1 - \frac{W_b^2}{2 L_B^2}\right) \Bigg/ \left(1 + \frac{\rho_{sh,e}}{\rho_{sh,b}}\right) 其中 Is=−qADnbnb0WbI_s = - \frac{q A D_{nb} n_{b0}}{W_b}，热电压 Vt=kTqV_t = \frac{k T}{q}
        • 总结：
      • 最后一步是计算电流增益。
        • 发射极注入效率：γ=JneJe=11+Ipe/Ine=11+Ipe(−x1)/Inb(0)\gamma = \frac{J_{ne}}{J_e} = \frac{1}{1 + I_{pe}/I_{ne}} = \frac{1}{1 + I_{pe}(-x_1)/I_{nb}(0)}
          • 但这个公式过于理想，譬如 DD ，NN ，WW 都无法测量。因此在实际情况之中，用方块的电阻来估计发射极的注入效率。（扩散系数 Dn=μnkTqD_{n}=\mu_{n} \frac{kT}{q} ，电阻率 ρb=(qμnbnb)−1\rho_{b}=(q\mu_{nb}n_{b})^{-1} ），从而得出 γ=[1+ρeWEρbWB]−1\gamma=\left[ 1+{\frac{\frac{\rho_{e}}{W_{E}}}{\frac{\rho_{b}}{W_{B}}}} \right]^{-1} 。
          • 在实际的计算之中，将电阻简化为方块电阻：于是有 γ=(1+Rsh,eRsh,b)−1\gamma=\left( 1+\frac{R_{sh,e}}{R_{sh,b}} \right)^{-1}
          • 若 Wb≪LBW_{b}\ll L_{B} 的条件不成立，那么γ=[1+DpeDnb⋅pe0nb0⋅LBLE⋅tanh⁡(WbLB)tanh⁡(WELE)]−1\gamma = \left[ 1 + \frac{D_{pe}}{D_{nb}} \cdot \frac{p_{e0}}{n_{b0}} \cdot \frac{L_B}{L_E} \cdot \frac{\tanh\left( \frac{W_b}{L_B} \right)}{\tanh\left( \frac{W_E}{L_E} \right)} \right]^{-1}
        • 基区传递系数：β∗=IncIne=Inb(Wb)Inb(0)=1cosh⁡(Wb/LB)\beta^* = \frac{I_{nc}}{I_{ne}} = \frac{I_{nb}(W_b)}{I_{nb}(0)} = \frac{1}{\cosh(W_b / L_B)}
          • 若 Wb≪LBW_{b}\ll L_{B} ，则：β∗=IncIne=Inb(Wb)Inb(0)=1cosh⁡(Wb/LB)\beta^* = \frac{I_{nc}}{I_{ne}} = \frac{I_{nb}(W_b)}{I_{nb}(0)} = \frac{1}{\cosh(W_b / L_B)}
          • 分析时注意 LB=DBτL_{B}=\sqrt{ D_{B}\tau }
        • 共基极电流放大系数 α\alpha ：α=γβ∗α∗≈(1−Wb22LB2)/(1+ρsh,eρsh,b)\alpha = \gamma \beta^* \alpha^* \approx \left(1 - \frac{W_b^2}{2 L_B^2}\right) \Bigg/ \left(1 + \frac{\rho_{sh,e}}{\rho_{sh,b}}\right)
  • 理想晶体管四种工作模式下的少子分布

非理想特性​

结面积导致的非理想效应​

考虑发射效率 γ\gamma ： γ=JneJe=11+JpeJne\gamma=\frac{J_{ne}}{J_{e}}=\frac{1}{1+\frac{J_{pe}}{J_{ne}}} 这里直接用了 JJ 电流密度做比，而不是 II 做比，是因为默认两种电流流过的面积相等。然而发射区面积 ≠\neq 集电区面积。 则上式变为 γ=IneIne+Ipe′+Ine′\gamma=\frac{I_{ne}}{I_{ne}+I_{pe}'+I_{ne}'} ，由 Ipe′Ine=Jpe(Aje∗+Aje0)JneAje∗\frac{I'_{pe}}{I_{ne}}=\frac{J_{pe}(A^*_{je}+A_{je_{0}})}{J_{ne}A^*_{je}} ，代入可得 γ=(1+Aje0Aje∗)−1(1+JpeJne)−1\gamma=\left( 1+\frac{A_{je_{0}}}{A^*_{je}} \right)^{-1}\left( 1+\frac{J_{pe}}{J_{ne}} \right)^{-1}

厄利效应（基区宽度调制效应）​

随着 B-C 结反偏电压的增加，空间电荷区宽度增加，使得 xBx_{B} 减小，这一减小，集电极电流也发生变化。 因而在共射电路之中可以很明显地观测到这样的非理想现象： 于是有 dIcdVCE=IcVCE+VA\frac{dI_{c}}{dV_{CE}}=\frac{I_{c}}{V_{CE}+V_{A}}

复合效应​

之前的计算没考虑复合效应，现在考虑电子和空穴在 PN 结中的复合效应。复合率与电子寿命和空穴寿命的倒数成正比。 U=nmaxτn+τpU=\frac{n_{max}}{\tau_{n}+\tau_{p}} 势垒区： np=ni2eqVBE/KTnp=n_{i}^2e^{ qV_{BE}/KT } ，开方后代入 U=ni2τeqVBE/2kTU=\frac{n_{i}}{2\tau}e^{ qV_{BE}/2kT } 复合电流 Ire=U=qni2τeqVBE/2kTδeI_{re}=U=\frac{qn_{i}}{2\tau}e^{ qV_{BE}/2kT }\delta_{e} (发射结耗尽层宽度) 然后再考虑注入效率 γ\gamma ，这时考虑复合电流，有 γ=IneIne+Ipe+Ire\gamma=\frac{I_{ne}}{I_{ne}+I_{pe}+I_{re}} 代入得： γ=[1+ρeρbWbLE+NB⋅Wb⋅δe2ni⋅LB2exp⁡(−qVBE2kT)]−1\gamma = \left[ 1 + \frac{\rho_e}{\rho_b} \frac{W_b}{L_E} + \frac{N_B \cdot W_b \cdot \delta_e}{2 n_i \cdot L_B^2} \exp\left( \frac{- q V_{BE}}{2 k T} \right) \right]^{-1}